શબ્દ $APPLICATION$ ના બધા અક્ષરોનો ઉપયોગ કરી એવા કેટલા શબ્દો મળે કે જેથી બે સ્વરો ક્યારેય સાથે ન આવે?

વિધાન $1:$ $ 10$ સમાન દડાને $4$ ભિન્ન પેટીમાં $^9C_3$ રીતે ગોઠવી શકાય કે જેથી કેાઇપણ પેટી ખાલી ન રહે.

વિધાન $2$: $9$ ભિન્ન જગ્યામાંથી $3$ જગ્યાની પસંદગી $^9C_3$  રીતે થઇ શકે.

$\left( {\,_{\,8}^{15}\,} \right) + \left( {\,_{\,9}^{15}\,} \right) - \left( {\,_{\,6}^{15}\,} \right) - \left( {\,_{\,7}^{15}\,} \right) = ......$

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
  {15} \\ 
  {3r} 
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
  {15} \\ 
  {r + 3} 
\end{array}} \right)$  હોય તો $r\,\, = \,\,........$

છ પુરૂષ અને ચાર સ્ત્રી માંથી પાંચ સભ્યની કેટલી કમિટિ બનાવી શકાય કે જેમાં ઓછામાં ઓછી એક સ્ત્રી હોય.                                                     

કોઈ પણ બે છોકરીઓ જોડે જોડે ન બેસે તે રીતે $5$ છોકરીઓ અને $7$ છોકરાઓ ને ગોળાકાર ટેબલ પર બેસાડવાની રીત ની સંખ્યા $..........$ છે.